у всех расчетчиков нужно сделать ресурс T_SYSTEM общим

исправим в следующей версии

содержимое поля Фильтр не очищается, нужно только при переключении папки писем кликнуть на кнопку фильтрации

Поле "Фильтр по ТН" появляется над списком писем о несоответствии данных при включенной Настройке -> 6.  Общие настройки системы -> 11.Настройка интеграции с Контур-Персонал -> Прямой доступ к базе писем

>>Не получилось. 

должно работать если ниже в расшифровке письма показывает что то в поле Сотрудник:

(курсор должен находиться в окне списка писем)

Пока что можем только отключить кнопку "Обновить" в следующей версии (при разбивке ОКТМО)

На скриншоте не видно внутренних кодов исп.должностей.
Удалить синхронизированную должность при включенной интеграции программа не позволяет.
Каким образом у Вас была удалена синхронизированная исп.должность?
(Такая ситуация возможна только если выключили интеграцию, удалили должности, включили обратно без полной синхронизации)

Такая ситуация возможна только при удалении предыдущих писем без их обработки. Да в этом случае нужно дождаться автоматической обработки запроса на синхронизацию в КП.

фильтр по ТН  есть над списком писем, войти в просмотр сотрудника можно из окна со списком писем по клавише Ctrl+П, просмотр КЧ - Ctrl+К,  можем сделать чтоб открывался с возможностью редактирования

В письме есть ссылки на другие сущности. Скорее всего Должность или Подразделение или Предыдущая исполняемая должность   еще не обработана. При попытке обработать письмо программа должна отправить в КП запрос на синхронизацию если в письме есть неизвестные guid-ы,  либо должна предложить обработать письма от которых зависит данное

Программа не позволяет удалять приказ на вид не удаленный в КП. по F3 объект интеграции не удаляется. Даже если Вы удалите в программе синхронизированную сущность, то она будет запомнена как удаленная и письма на ее удаление обрабатываются автоматически. 

Ваша ситуация возможна только если руками удалили письма на создание сущностей, не обрабатывая их, в этом случае нужно руками удалить письма и на удаление.